수능 물리학I 특수상대성이론 오개념 해소하기 - 1

I. 빛이 이동한 거리와 고유 길이

빛이 이동한 거리는 자신의 관성계 뿐만 아니라 다른 관성계를 관찰해도 무관하다. 그 반면 관성계 I의 고유 길이는 반드시 관성계 I에서 측정해야 한다. 길이 수축을 묻는 모든 문제는 고유 길이를 반드시 먼저 알아야 입증할 수 있다.

풀이 법칙

1. 동일한 관성계를 관찰할 때는 빛이 이동한 거리 = 고유 길이가 성립한다.
2. (일반적으로) 다른 관성계를 관찰할 때는 빛이 이동한 거리 ≠ 고유 길이이다.

위 그림에서, B의 관성계에서 선분 RQ의 길이를 \(L\)이라고 하자. 선분 RQ는 B와 동일한 관성계에 있으므로 \(L\)은 고유 길이이다. 따라서 \(L\)은 반드시 B의 관성계에서 구해야 한다.

(B의 관성계에서 R에서 발사된 빛이 Q에 도달하는 시간) × \(c\)
= (B의 관성계에서 R에서 Q에 도달하기까지 빛이 이동한 거리)
= 고유 길이 \(L\)

\(L\)을 착각하는 케이스는 다음과 같다.

(A의 관성계에서 R에서 발사된 빛이 Q에 도달하는 시간) × \(c\)

풀이 법칙 2를 무시한 케이스이다. 이는 A의 관성계에서 빛이 이동한 거리를 구한 것이다. 이때 Q는 R과 멀어지므로 해당 식은 \(L\)보다 크다. 만약 우주선이 반대로 움직였다면 Q는 R과 가까워지므로 해당 식은 \(L\)보다 작을 것이다. 따라서 A 관성계에서 \(c\) × \(t\)를 하는 건 \(t\)가 뭐든간에 고유 길이와 전혀 무관하다.

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II. 고유 시간

관성계 I에서 관찰한, 관성계 I의 어떤 한 점에서 일어난 두 사건 시간 사이의 간격이다. 길이 수축과 마찬가지로 반드시 고유 시간을 알아야 문제에서 묻는 시간 팽창을 입증할 수 있다.

풀이 법칙

1. 고유 시간을 측정하기 위해서는 사건이 발생한 관성계에서 관찰해야 한다.
2. 사건은 반드시 한 점에서 일어나야 한다.

첫번째 그림에서 우주선 안에서 관찰했을 때, 광원에서 방출된 빛이 거울에서 반사돼 다시 광원으로 돌아오는 시간을 \(t_1\)라고 하고, 두번째 그림에서 철수가 관찰했을 때 광원에서 방출된 빛이 빛 검출기로 가는 시간을 \(t_2\)이라고 하자. 결론부터 말하자면 \(t_1\)은 고유시간이지만 \(t_2\)는 고유시간이 아니다.

\(t_1\)과 \(t_2\) 모두 풀이 법칙 1은 만족하지만, \(t_2\)의 경우는 풀이 법칙 2를 만족하지 못했다. 사건이 한 점에서 시작하고 끝나지 않았기 때문이다. 그 결과로 첫번째 그림의 우주 정거장에서는 두 사건 사이의 시간 간격을 우주선의 속력과 방향에 상관없이 시간 팽창에 의해 \(t_1\)보다 큰 시간으로 측정한다. 그러나 두번째 그림의 영희는 우주선이 \(-x\) 방향으로 움직일 경우 검출기가 광원에 가까워져 시간 팽창은 커녕 사건 사이의 시간이 \(t_2\)보다 작아지는 모순이 생긴다.


즉, 고유 시간을 측정하는 대표적인 도구인 빛 시계가 왕복을 기준으로 시간을 측정하는 이유가 이것이다. 빛이 첫번째 사건이 발생한 지점으로 다시 되돌아오는 2번째 사건이 있어야 비로소 고유 시간이 유효한 두 개의 사건이 완성되는 것이다.

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III. 한 점 동시성

대부분의 동시성은 상대적이지만, 한 점 동시성만은 사건의 절대적인 시각(Time)을 알려준다.

풀이 법칙

1. 어떤 관성계에서 동시인 사건이 다른 관성계에서는 동시가 아닐 수 있다. (동시성의 상대성)
2. 두 개 이상의 광자(혹은 대상)가 한 점에 동시에 도달한 사건은 어떤 관성계에서도 반드시 동시에 일어난다.

우주선 내부 관성계에서, 광원에서 빛이 발생한 시각을 \(T=t_1\)이라고 하고, 거울에 도달한 시각을 \(T=t_2\)이라고 하자. 만약 한 점 동시성이 한 개의 대상에 의해서도 성립한다면, 우주 정거장에서도 두 사건이 발생한 시각은 같다. 그런데 우주선의 거울은 광원으로부터 멀어지므로 시간 간격이 \(t_2-t_1\)보다 커지게 된다. 따라서 한 점 동시성은 반드시 두 개 이상의 광자가 한 점에 동시에 도달한 사건에 한해야 한다. '동시성의 상대성'에서 동시성(simultaneity)은 적어도 한개의 기준계에서 같은 시간에 두 개의 사건이 발생하는 성질이기 때문이다.

Q의 관성계에서, A와 B로부터 동시에 빛이 방출하여, 동시에 Q에 도달했다고 하자. 동시에 Q에 도달한 사건은 풀이 법칙에 의해 P에게도 동일한 시각에 발생하게 된다. 또한 P의 관성계에서, Q는 A로부터 멀어지면서도 B에 가까워져 두 빛이 이동한 거리가 다르다. (참고로, 여기서 선분 AB의 길이를 물어본다면 P에서가 Q에서보다 짧다고 답해야 한다.) 이동한 거리가 다르면, 빛이 이동한 시간이 다를 것이고 그 시간을 각각 \(t_A\)와 \(t_B\)라고 둔다면 \(t_A > t_B\)이다. 따라서 다음과 같은 타임라인을 머리에 그려야 한다.

따라서 해당 상황에서는 "P의 관성계에서 B보다 A에서 먼저 빛이 발생한다."라는 명제가 참이다.

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