귀류법 / 수능최저 "3합8"은 충족하는데 "2합5"를 미충족하는 경우

두 대학 모두 탐구 1과목 반영이라고 가정하자. 수능 최저학력기준 상위 3과목 합 8등급 이내는 충족하는데 2과목 합 5등급은 미충족하는 경우가 있을까?

수능 등급의 치역인 집합 \(X\)는 다음과 같다:
\( X = \begin{Bmatrix} x\; |\; x \leq 9 ,\; x\in \mathbb{N} \end{Bmatrix}\)
(수능 등급은 9 이하의 어떤 자연수이다.)

상위 3개의 과목의 등급을 각각 \(a\), \(b\), \(c\)라고 하자. 순서쌍 \(a, b, c\)는 다음과 같이 정의된다.
\( \begin{Bmatrix} (a, b, c) |\; a \in X, b \in X, c \in X \end{Bmatrix}\)
(상위 3개 과목의 등급은 수능 등급 중 하나이다.)

상위 3과목 합 8등급 이내를 충족하면 2과목 합 5등급을 충족한다는 명제 \(S\)는 다음과 같다.

\( S: a+b+c \leq 8\) 이면, \(a + b \leq 5\) 또는 \(b + c \leq 5\) 또는 \(a + c \leq 5\)

 

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명제 \(S\)가 거짓이라고 가정하자.
명제 \(S\)의 부정 ~\(S\)는

\( a+b+c \leq 8\) (⋯ ①) 이면, \(a + b \geq 6\) 그리고 \(b + c \geq 6\) 그리고 \(a + c \geq 6\)
(상위 3과목 합 8등급 이내는 충족하는데, 그 중 어떤 두 과목의 합도 5 이내가 아니다. 즉, 두 과목의 합이 6 이상이다.)

\(a + b \geq 6\) 그리고 \(b + c \geq 6\) 그리고 \(a + c \geq 6\)이므로,
부등식의 각 항을 합치면

\((a + b) + (b + c) + (a+ c) \geq 6+6+6 \)

\(~\Rightarrow 2(a+b+c) \geq 18\)이다.

즉, \(a+b+c \geq 9\)이므로,

가정 ① \( a+b+c \leq 8\)에 모순이다.

명제 \(S\)의 부정 ~\(S\)가 거짓이므로 명제 \(S\)는 참이다.

따라서, 수능 최저학력기준 상위 3과목 합 8등급 이내를 충족하면 반드시 2과목 합 5등급은 충족한다.